Учебная программа составлена на основе базовой учебной программы,
утвержденной ___ _______ 20___ г., регистрационный номер ___-______/_____

Рассмотрена и рекомендована к утверждению кафедрой математического анализа

___ _________ 20___ г., протокол № __

Заведующий кафедрой

профессор _________ А. Р. Миротин

Рекомендована и одобрена к утверждению
Методическим советом математического факультета

УО «ГГУ им. Ф. Скорины»

___ _________ 2014 г., протокол № __

Председатель

доцент ____________ Л. Н. Марченко

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Необходимость и актуальность специального курса «Методы решения олимпиадных задач» обусловлена возросшими требованиями к математической подготовке учителя математики. В связи с этим представляется целесообразным ознакомление студентов математического факультета специальности «математика (научно-педагогическая деятельность)» с методами решения нестандартных задач по математике.

Целью специального курса «Методы решения олимпиадных задач» является овладение студентами основными типами и методами решения олимпиадных задач по элементарной математике. Знания в этой области призваны помочь будущим учителям в работе с одаренными учащимися, в проведении факультативов, кружков, олимпиад и других форм внеклассной работы.

Задачами дисциплины являются:

– усвоение основных понятий и положений методики решения олимпиадных задач;

– овладение теоретическими знаниями в области элементарной математики и прилегающих областей, необходимых для овладения методами решения олимпиадных задач;

– анализ современных тенденций содержания олимпиадных заданий;

– приобретение навыков решения олимпиадных задач.

В результате изучения спецкурса студенты должны

знать:

- основные типы и методы решения олимпиадных задач по элементарной математике;

уметь:

- использовать свои знания основных методов решения олимпиадных задач по элементарной математике при решении конкретных задач;

владеть:

- основными методами решения олимпиадных задач по элементарной математике;

- приемами применения теории к конкретным задачам.

Материал специального курса «Методы решения олимпиадных задач» основывается на ранее полученных студентами знаниях по элементарной математике, а также на ряде разделов алгебры, теории чисел, аналитической геометрии и математического анализа.

Общее количество часов – 118; аудиторное количество часов – 72, из них: лекции – 54, лабораторные занятия – 18. Форма отчётности – зачет.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

РАЗДЕЛ 1 КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ

Тема 1.1 Игровые задачи

Стратегии. Игры двух лиц. Использование идеи симметрии. Задачи с геометрическим содержанием. Задачи с алгебраическим содержанием. Задачи с теоретико-числовым содержанием.

Тема 2.1 Принцип Дирихле

Принцип ящиков Дирихле. Обобщения и аналоги принципа Дирихле. Задачи с геометрическим содержанием. Задачи с алгебраическим содержанием. Задачи с теоретико-числовым содержанием.

Тема 3.1 Поиск инварианта

Инварианты. Метод инвариантов. Задачи с геометрическим содержанием. Задачи с алгебраическим содержанием. Задачи с теоретико-числовым содержанием.

Тема 4.1 Графы и их применение

Граф. Связность. Порядок вершины. Уникурсальные графы. Плоские графы. Теорема Эйлера. Деревья. Решение задач с применением графов.

РАЗДЕЛ 2 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Тема 2.1 Индукция

Полная и неполная индукция. База индукции, индуктивное предположение и индуктивный переход. Обратная индукция. Двойная индукция.

Тема 2.2 Делимость целых чисел

Простые и составные числа. НОК и НОД. Свойства отношения делимости. Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида. Основная теорема арифметики. Основное правило комбинаторики, число и сумма делителей натурального числа.

Тема 2.3 Диофантовы уравнения

Понятие диофантова уравнения. Виды диофантовых уравнений. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными, общее решение, метод рассеивания. Пифагоровы тройки. Методы модулей и оценок.

РАЗДЕЛ 3 АЛГЕБРА

Тема 3.1 Неравенства

Средние, неравенства между средними. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство Бернулли. Выпуклость, неравенство Иенсена. Геометрические неравенства.

Тема 3.2 Функциональные уравнения

Уравнения Коши на множествах рациональных и действительных чисел. Функциональные уравнения, приводящиеся к уравнениям Коши. Задачи, сводящиеся к функциональным уравнениям.

Тема 3.3 Комплексные числа

Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Формула Кардано. Основная теорема алгебры полиномов.

Тема 3.4 Принцип крайнего

Числовые множества. Принцип крайнего. Наименьший и наибольший элемент. Различные применения принципа крайнего.

РАЗДЕЛ 4 ГЕОМЕТРИЯ

Тема 4.1 Применение комплексных чисел в геометрии

Комплексные числа и их геометрическая интерпретация. Формула Кардано. Основная теорема алгебры полиномов. Применение комплексных чисел к доказательству теорем планиметрии. Теоремы Гаусса, Ньютона, Паскаля, Эйлера, Морли, Наполеона.

4.2 Векторы

Скалярное произведение. Сумма векторов. Вспомогательные проекции. Метод усреднения.

4.3 Центр масс

Основные свойства центра масс. Теорема о группировке масс. Момент инерции. Барицентрические координаты.

4.4 Движения плоскости

Параллельный перенос. Центральная симметрия. Осевая симметрия. Поворот.

ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Примерный перечень лабораторных занятий

Игровые задачи с теоретико-числовым содержанием.

Игровые задачи с алгебраическим содержанием.

Игровые задачи с геометрическим содержанием.

Задачи на поиск инварианта с алгебраическим содержанием.

Задачи на поиск инварианта с геометрическим содержанием.

Задачи на принцип Дирихле с теоретико-числовым содержанием.

Задачи на принцип Дирихле с алгебраическим содержанием.

Задачи на графы.

Задачи на делимость и простые числа.

Диофантовы уравнения первой степени.

Диофантовы уравнения высших степеней.

Диофантовы уравнения, содержащие иррациональные и показательную функции.

Различные виды средних и неравенства между ними.

Задачи, использующие неравенство Коши-Буняковского.

Задачи, использующие неравенство Иенсена.

Решение функциональных уравнений.

Решение геометрических задач с использованием комплексных чисел.

Рекомендуемые формы контроля знаний

Групповая консультация.

Реферативные работы.

Рекомендуемые темы реферативных работ

Поиск родственных задач.

Графы.

Инварианты.

Метод крайнего.

Уход на бесконечность и малые шевеления.

Раскраски.

Делимость и остатки.

Алгоритм Евклида.

Комплексные числа и их применения в геометрии.

Геометрические неравенства.

Покрытия, упаковки, замощения.

Процессы и операции.

Функциональные уравнения.

Принцип Дирихле.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная

Гальперин, Г.А. Московские математические олимпиады / Г. А. Гальперин, А. К. Толпыго – М. : Просвещение, 1986.

Канель-Белов, А. Я. Как решают нестандартные задачи / А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи – М. : МЦНМО, 2009.

Васильев, Н. Б. Заочные математические олимпиады / Н. Б. Васильев и др. – М. : Наука, 1981.

Морозова, Е. А. Международные математические олимпиады / Е. А. Морозова и др. - М. : Просвещение, 1976.

Каморников, С. Ф. Гомельские областные олимпиады по математике 90-х годов / С. Ф. Каморников, А. Р. Миротин и др. - Гомель, 1999.

Васильев, Н. Б. Прямые и кривые / Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер – М. : МЦНМО, 2000.

Виноградов, И. М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов - М. : Наука, 1972.

Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 1, 2. / В. В. Прасолов - М. : Наука, 1991.

Дополнительная

Engel, A. Problem-solving strategies / A. Engel – Springer, 1998.

Периодические издания

Математика в школе.

Квант.

Матэматыка. Праблемы выкладання.

Информационные ресурсы

www.zaba.ru

www.olimp.infmo.ru

www.math.rosolymp.ru